Formulario Completo di Trigonometria: Equazioni e Disequazioni

Tabella dei Valori Goniometrici

Equazioni Goniometriche Elementari

Risoluzione in Seno (sin x = t)

• Se t < -1 o t > 1: l'equazione è impossibile.
• Se t > 0: cerco l'angolo a tale che sin(a) = t. Soluzioni: x₁ = a + 2kπ; x₂ = π - a + 2kπ.
• Se non esiste un angolo noto: x₁ = arcsin(t) + 2kπ; x₂ = π - arcsin(t) + 2kπ.
• Se t < 0: cerco l'angolo a tale che sin(a) = +t. Soluzioni: x₁ = -a + 2kπ; x₂ = π + a + 2kπ.
• Casi particolari: t=1 → x=π/2+2kπ; t=-1 → x=3π/2+2kπ; t=0 → x=kπ.

Risoluzione in Coseno (cos x = t)

• Se t < -1 o t > 1: l'equazione è impossibile.
• Se t > 0: cerco l'angolo a tale che cos(a) = t. Soluzioni: x₁ = -a + 2kπ; x₂ = +a + 2kπ.
• Se t < 0: cerco l'angolo a tale che cos(a) = +t. Soluzioni: x₁ = π - a + 2kπ; x₂ = π + a + 2kπ.
• Casi particolari: t=1 → x=2kπ; t=-1 → x=π+2kπ; t=0 → x=π/2+kπ.

Equazioni di Secondo Grado

Per equazioni del tipo sin²x + sinx - 2 = 0, si procede per sostituzione (ponendo sinx = t), risolvendo l'equazione di secondo grado e tornando poi alla variabile x.

Disequazioni Goniometriche

Metodo Grafico (Circonferenza)

• In Seno: Si disegna la circonferenza, si segna il valore sull'asse y. Se il verso è > si evidenzia il segmento sopra, se < sotto.
• In Coseno: Si segna il valore sull'asse x. Se il verso è > si evidenzia il segmento a destra, se < a sinistra.
• Soluzione: È l'arco evidenziato. Se l'arco attraversa lo 0, la soluzione va spezzata in due parti.

Risoluzione in Tangente

1. Disegnare la circonferenza e la retta tangente.
2. Segnare il punto sulla retta: se il verso è >, evidenziare il segmento sopra il punto; se <, sotto.
3. Escludere i valori π/2 e 3π/2.
4. La circonferenza viene divisa in spicchi: verificare quali soddisfano la disequazione. La soluzione generale è il primo spicchio trovato dopo lo 0 + kπ.