Fundamentos de Geometría Analítica: Rectas, Cónicas y Operaciones

Conceptos Básicos de la Recta

• Sospeso (Pendenza): Pendiente de una recta.
• Tilt (Straight Tilt): Inclinación de la recta.

Relaciones entre Rectas

• Rectas paralelas: Dos líneas son paralelas si sus pendientes son iguales (L₁ // L₂ si m₁ = m₂).
• Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90°, donde el producto de sus pendientes es -1: (m₁)(m₂) = -1.

Ecuación General de la Línea

Para obtener la ecuación, se requieren dos elementos fundamentales: la pendiente (m) y un punto de la línea (x₁, y₁), además de los puntos variables (x, y).

Ecuación de la recta por un punto

Se utiliza la forma punto-pendiente para definir la posición de la recta en el plano cartesiano.

Distancia de una Línea a un Punto

Para calcular la distancia, se debe resolver para y en la ecuación de la recta, utilizando un denominador común.

Circonferenza (Circunferencia)

La ecuación cartesiana del círculo con centro en (h, k) se define mediante el desarrollo de binomios al cuadrado. El centro se desplaza en sentido contrario a los signos de la ecuación.

Parábola

Parábola con vértice en el origen

Existen cuatro orientaciones principales según el foco (p):

• Abre hacia arriba: Foco (0, p)
• Abre a la derecha: Foco (p, 0)
• Abre a la izquierda: Foco (-p, 0)
• Abre hacia abajo: Foco (0, -p)

Parábola con vértice fuera del origen (h, k)

• Abre hacia arriba: Foco (h, k + p), LR = 4p
• Abre hacia abajo: Foco (h, k - p), LR = 4p
• Abre a la derecha: Foco (h + p, k), LR = 4p
• Abre a la izquierda: Foco (h - p, k), LR = 4p

Elipse

Se define por su eje mayor (2a) y eje menor (2b).

• Centrada en el origen (eje x): Focos en (c, 0) y (-c, 0).
• Centrada en el origen (eje y): Focos en (0, c) y (0, -c).

Operaciones Fundamentales

Estado de los signos (Multiplicación)

• (-) (-) = +
• (+) (+) = +
• (-) (+) = -
• (+) (-) = -

Modificación de operaciones (Inversas)

• Suma ↔ Resta
• Multiplicación ↔ División