L'Intervallo Spazio-Temporale: Fondamenti e Invarianza Relativistica

L'Intervallo Spazio-Temporale

In un fenomeno relativistico, l'intervallo è un'invariante relativistica che permette di stabilire una relazione tra le posizioni dello spazio e del tempo espresse in due sistemi inerziali.

La Parabola degli Agrimensori

Per introdurre il concetto, usiamo la parabola degli agrimensori: in una città la popolazione si divide in diurni e notturni. Gli agrimensori delle due popolazioni mappano gli appezzamenti di terreno; i diurni prendono la bussola e forniscono coordinate Nord ed Est, esprimendo la coordinata Nord (considerata sacra) in miglia e la coordinata Est in metri. I notturni non usano il Nord magnetico, ma la Stella Polare (esprimendo sempre N in miglia ed E in metri).

Le posizioni dei paletti che delimitano gli appezzamenti avranno valori diversi nei due mappali. Se però esprimiamo N ed E con la stessa unità di misura, ci accorgiamo che ciò che rimane costante nei due sistemi di riferimento di diurni e notturni è la distanza dal centro del sistema, quindi la somma dei quadrati delle due coordinate:
D² = N²(m) + E²(m).
Questa è, quindi, l'invariante nei due sistemi.

Simmetrie tra Geometria e Relatività

Analizziamo ora le simmetrie tra questa situazione e la relatività.

• L'analogo dei paletti che delimitano i campi sono gli eventi.
• Così come per poter riconoscere la grandezza invariante nella parabola si è dovuto uniformare le unità di misura, allo stesso modo, per riconoscere la grandezza invariante per i due sistemi di riferimento, bisogna uniformare dimensionalmente spazi e tempi.

Posso quindi scegliere di misurare i tempi in metri o gli spazi in secondi; scegliamo i metri come unità di misura comune. Il fattore di conversione che permette di trasformare i secondi in metri è la velocità della luce. Se esprimiamo un tempo in metri, usiamo il metro di tempo (il tempo che impiega la luce per percorrere un metro):
dt(m) = Δt * c

Definizione Matematica dell'Intervallo

Così facendo, si ottiene che risulta invariante (dimostrandone la validità per un evento qualsiasi osservato da S e da S’) la quantità detta intervallo, così definita:

I² = [Δt(m)]² - [Δx(m)]²

Dimostrazione dell'Invarianza

Si consideri un raggio di luce che, una volta emesso, percorre una distanza d per poi essere riflesso da uno specchio. Nel sistema S’, il raggio viene emesso e ricevuto nello stesso punto dello spazio (dt’ tempo proprio). Il sistema S è in moto relativo con velocità costante v rispetto a S’. Per la composizione dei moti, il punto di partenza e il punto di arrivo per l'osservatore su S non coincidono.

• S’: dt’(m) = dt’(s) * c; dx’ = 0
• S: dt(m) = ᵞ dt’(m) (per la dilatazione dei tempi) = ᵞ dt’(s) * c
• dx: dt(s) * v = ᵞ dt’(s) * v

Le equazioni risultanti sono:

• I’² = c²dt’²
• I² = c²ᵞ² dt’² – v²ᵞ² dt’² = ᵞ² dt’² (c² - v²) = c² dt’² * (c² - v²) / (c² - v²) = c²dt’²

Invarianza della Dimensione Trasversale

È possibile dedurre l'invarianza dell'intervallo anche dall'invarianza della dimensione trasversale rispetto al moto. Infatti, dalla definizione dell'intervallo è possibile dedurre la sua coincidenza con la dimensione trasversale, la quale non può subire contrazioni per rispettare il principio di equivalenza tra sistemi inerziali (altrimenti sarebbe possibile identificare un sistema di riferimento privilegiato).

L'ipotenusa del triangolo rettangolo è pari alla metà dell'intervallo temporale espresso in metri che separa i due momenti dell'evento; un cateto è pari a metà della distanza spaziale, l'altro cateto è l'intervallo.

Esperimento Mentale dei Tubi: L'Invarianza della Dimensione Trasversale

Consideriamo un tubo dritto e dipingiamo uno dei due estremi a scacchi e l'altro a strisce. Tagliamo ed eliminiamo la parte centrale. Lanciamo queste due parti l'una contro l'altra facendo in modo che gli assi siano disposti sulla medesima retta parallela alla direzione del moto.

Un osservatore posto sul tubo a scacchi vedrà l'altro tubo passare all'interno del proprio. Di conseguenza, tutti vedranno un disegno a scacchi. Viceversa, un osservatore sul tubo a strisce vedrà il proprio tubo avvolgere quello a scacchi: tutti vedranno un disegno a strisce. Questo è però assurdo: il momento dell'impatto dovrebbe stabilire chi dei due ha ragione.

Affinché non ci sia un sistema di riferimento privilegiato, è necessario che la velocità non produca alcun effetto sulla dimensione trasversale rispetto al moto (il diametro di uno dei due tubi non può ridursi): al momento dell'impatto ci sarà quindi un urto frontale.