Modelli Economici e Assegnazione del Traffico: Fondamenti e Applicazioni

L'analisi Input-Output (I-O)

L'analisi Input-Output (I-O) studia le interdipendenze tra i settori di un sistema economico per valutare come le variazioni della domanda finale influenzino l'intera filiera produttiva.

Obiettivi e Impatti

L'analisi serve a rappresentare il sistema di produzione e consumo e a prevedere gli effetti a cascata di shock esterni. Gli impatti si dividono in:

• Diretti: Legati all'attività specifica (es. fornitura di trasporti).
• Indiretti: Generati lungo la catena del valore tramite la domanda di beni intermedi.
• Indotti: Derivanti dalla spesa dei salari dei dipendenti sul territorio.
• Catalitici: Capacità di attrarre nuove attività economiche nel tempo (es. infrastrutture EXPO).

Struttura dei Flussi Monetari

La tabella registra i flussi monetari tra i settori:

• Righe ($i$): Quanto un settore incide sul fatturato complessivo.
• Colonne ($j$): Struttura dei costi: ogni volta che vendo un euro, in che percentuale ho acquistato dai miei fornitori.
• Coefficiente Tecnico ($Aij$): Indica quanto input del settore è necessario per la produzione.

Modello Econometrico Input-Output (IOE)

Mentre il modello I-O standard utilizza coefficienti fissi basati sulla media di un singolo anno, l'IOE introduce dinamismo:

• Relazioni variabili: Non utilizza coefficienti lineari fissi, ma funzioni stimate (es. radice quadrata).
• Dati storici: Integra il quadro I-O con relazioni econometriche stimate da serie storiche o dati panel.
• Precisione: Risolve il limite delle "relazioni medie" fornendo una stima più puntuale dell'impatto economico.
• Complessità: Il principale svantaggio è la difficoltà tecnica nella stima di tali parametri rispetto alla semplicità del modello base.

Modello Computable General Equilibrium (CGE)

Questo è il metodo più sofisticato e si differenzia radicalmente per la gestione dei prezzi:

• Prezzi e Quantità: In una tabella I-O standard si osserva il valore monetario totale; nel CGE, ogni transazione è disaggregata in componenti di prezzo e quantità, entrambi soggetti a variazioni.
• Elasticità: Introduce il concetto di elasticità (di spesa e di prezzo). Il modello reagisce ai cambiamenti dei prezzi di un settore e di quelli correlati.
• Complessità estrema: È un modello molto complicato che trova applicazione raramente rispetto ai primi due, evolvendosi spesso in versioni multiregionali.

Modelli di Assegnazione del Traffico

1. All-or-Nothing (AoN)

Trova il percorso più breve (shorter time path) per andare da A a B.

• Assenza di congestione: Utente razionale, costi uguali per tutti, conoscenza perfetta della rete.
• Assegnazione: Tutto il traffico tra origine e destinazione (O-D) viene assegnato a un unico percorso.
• Algoritmi: Ricerca del cammino minimo come Dijkstra o Floyd-Warshall.

2. Stochastic Assignment

Focus sulla variabilità del comportamento umano:

• Percezione del costo: Diversa a causa di fattori non osservati; nessun percorso è vuoto.
• Metodi: Simulazioni Monte Carlo o modelli Logit per dividere i viaggi tra i percorsi alternativi.

3. Deterministic User-Equilibrium (DUE)

Per reti sature dove la scelta individuale è dominante:

• Primo Principio di Wardrop: Il traffico si distribuisce in modo che tutti i percorsi effettivamente utilizzati tra due nodi abbiano costi uguali e minimi.
• Equilibrio individuale: Ogni utente cerca di massimizzare la propria utilità senza curarsi dell'impatto globale.
• Algoritmi: Metodo di Frank-Wolfe o metodo delle medie successive.

4. Stochastic User-Equilibrium (SUE)

È il modello più avanzato e completo:

• Incertezza + Congestione: Utilizza l'Utilità Random, composta da una parte deterministica e una parte randomica.

Obiettivi di Ottimizzazione: DUE vs DSO

• Obiettivo Individuale (DUE): Ogni viaggiatore agisce in modo egoistico (Primo Principio di Wardrop). In condizioni di equilibrio, nessun utente può cambiare percorso per migliorare il proprio tempo senza che qualcun altro peggiori la propria situazione.
• Obiettivo Sociale (DSO): Minimizzare il tempo totale di viaggio di tutti gli utenti del network contemporaneamente (Secondo Principio di Wardrop). È un approccio centralizzato che spesso richiede che alcuni individui si "sacrifichino".

Algoritmi di Risoluzione

1. Dijkstra

Utilizzato nell'AoN per il problema del cammino minimo tra coppie di nodi. Identifica il percorso più breve con costi dei link fissi (senza congestione) tramite un processo sequenziale che analizza i nodi collegati.

2. Frank-Wolfe

Utilizzato per risolvere l'equilibrio (DUE) in reti sature. Fasi del processo:

• Inizializzazione: Si parte da una rete vuota.
• Passaggio AoN: Si calcolano i tempi attuali e si esegue un'assegnazione AoN.
• Aggiornamento: Si calcola una nuova soluzione spostando una quota del traffico tramite una combinazione pesata: $q^{(i+1)} = q^{(i)} + \alpha^{(i)}(w^{(i)} - q^{(i)})$.
• Convergenza: Il processo viene ripetuto ciclicamente finché i flussi non si stabilizzano.