Che cos'è la catastrofe ultravioletta?

È la previsione del calcolo classico di Rayleigh-Jeans secondo cui un corpo nero dovrebbe emettere una quantità infinita di energia alle lunghezze d'onda molto piccole. I dati sperimentali contraddicevano questa previsione.

Che cosa afferma la relazione E = hν?

Stabilisce che ogni quanto di energia è uguale alla costante di Planck h moltiplicata per la frequenza ν. Nel testo, h vale 6,626 × 10⁻³⁴ J·s.

Perché Planck parlò di 'atto di disperazione'?

Planck definì così il proprio ricorso all'interpretazione statistica di Boltzmann, con cui mise in secondo piano le proprie convinzioni e introdusse di fatto l'elemento quantistico nella fisica.

Radiazione del corpo nero: legge di Planck e quanti di energia

Riassunto

Il documento spiega il problema della radiazione del corpo nero, con la catastrofe ultravioletta prevista dal calcolo classico di Rayleigh-Jeans. Illustra come Planck ricavò la legge definitiva e ne diede un fondamento teorico introducendo l'ipotesi quantistica dell'energia scambiata in porzioni discrete. Presenta infine l'argomento di Einstein sulla natura corpuscolare della radiazione, dedotta dall'aumento di entropia.

Punti chiave

Il calcolo classico di Rayleigh-Jeans prevede un'emissione infinita alle lunghezze d'onda molto piccole, la cosiddetta catastrofe ultravioletta.
Planck modificò la legge di Wien per accordarla ai dati sperimentali, ottenendo la legge definitiva della radiazione del corpo nero.
Planck diede un fondamento teorico alla formula ricorrendo all'interpretazione statistica di Boltzmann e quantizzando l'energia.
Ogni quanto di energia vale E = hν, dove h è la costante di Planck, pari a 6,626 × 10⁻³⁴ J·s.
La distribuzione osservata è quella che corrisponde allo stesso macrostato con il maggior numero di microstati possibile.
Einstein, con un esperimento mentale di compressione isotermica, dedusse dall'aumento di entropia una natura corpuscolare della radiazione.

Riassunto generato con l'IA a partire dal documento. Mettiti alla prova

Il Problema della Radiazione del Corpo Nero e la Legge di Planck

Il problema si presenta con il calcolo di ⟨ν⟩ E: come abbiamo visto in precedenza, secondo il calcolo classico di Rayleigh-Jeans, un corpo nero dovrebbe emettere una quantità infinita di energia in corrispondenza delle lunghezze d’onda molto piccole (catastrofe ultravioletta).

Planck inizialmente opera in modo da confermare la validità della legge di Wien, ma dopo che gli esperimenti realizzati alle basse frequenze non hanno confermato la sua validità, modificò la formulazione precedente così da essere in accordo con i dati sperimentali, pervenendo — sulla base di tutte le conoscenze teoriche e sperimentali certe — alla legge definitiva.

L'Atto di Disperazione e il Fondamento Teorico

Solo successivamente Planck diede un fondamento teorico alla nuova formulazione, con ciò che lui stesso definì un “atto di disperazione”: il fisico mise in secondo piano le proprie convinzioni abbracciando l’interpretazione statistica di Boltzmann, introducendo di fatto l’elemento quantistico nella fisica. Per poter considerare finito il numero di microstati, la teoria classica sceglie arbitrariamente di non distinguere microstati sotto un certo limite, quindi molto simili.

Quantizzando l'energia scambiata tra radiazione e oscillatori, ci si accorge che l’impossibilità di distinzione non è più un fatto arbitrario e che la legge di distribuzione è una conseguenza del fatto che il sistema evolve spontaneamente verso una situazione caratterizzata dal maggior numero di microstati.

Distribuzione Probabilistica e Quanti di Energia

Ad una certa temperatura T abbiamo in gioco una certa energia E: vediamone la distribuzione più probabile. Ad esempio, potrei assegnare tutta l’energia agli oscillatori N1 a bassa frequenza, osservando una sola riga monocromatica; tale situazione sarebbe realizzabile in modi infiniti, ma ipotizzando che l’assorbimento avvenga per porzioni discrete di energia (quanti), come sostiene Planck, ha ora possibilità finite, seppur numerosissime, di verificarsi.

Ogni quanto ha energia:

E = hν

Dove h (costante di Planck) = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s.

Nel caso ipotizzato avremo dunque molti pacchetti poco energetici ma “pochi” oscillatori coinvolti. È tuttavia più probabile che gli oscillatori influenzati siano di frequenze diverse; tale distribuzione è infatti realizzabile in più modi. La distribuzione osservata è, per Planck, quella che può corrispondere allo stesso macrostato (ovvero lo spettro osservato) con il maggior numero di microstati possibile.

A tal fine si realizza una sorta di compromesso:

Se l’energia è poca, conviene fare molti “pacchetti” a bassa energia.
Se l’energia è molta, occorre disporre pacchetti altamente energetici per più oscillatori.
Aumentando l’energia, infatti, aumenta anche il numero di oscillatori coinvolti.

Alle basse temperature, gli oscillatori ad alta frequenza non ricevono energia: la “ruberebbero” agli oscillatori a bassa frequenza, i quali possono distribuirsela in un numero maggiore di modi.

Einstein: Previsione Teorica e Conferma della Quantizzazione della Radiazione

Einstein, a seguito di un esperimento mentale simile a quello di Wien, dedusse che il “gas” di radiazione avesse una natura corpuscolare. Egli considerò la compressione della radiazione all’interno di un cilindro posto su un termostato (trasformazione isotermica, a differenza dell’esperimento di Wien che simulò una trasformazione adiabatica).

Entropia e Natura Corpuscolare

La sua analisi evidenziò l'aumento di entropia del sistema, esprimibile come:

ΔS = K ln(Vf / Vi)

Questa relazione è simile a quella che esprime la variazione di entropia di un gas perfetto. Dato che l’aumento di entropia è spiegato dalla natura corpuscolare dei gas perfetti — come un passaggio da un macrostato realizzabile con un minor numero di microstati (posizione e velocità delle particelle) a uno realizzabile con un maggior numero di microstati — allora l’aumento di entropia della radiazione poteva essere spiegato solo attribuendo ad essa una natura corpuscolare.