Oscillatore Armonico: Equazioni, Soluzioni e Fenomeni di Risonanza

Appendice: L'oscillatore armonico

L'equazione dell'oscillatore armonico è data da:

&ddot;x + 2b˙x + ω²x = f(t)

con b > 0 e ω costanti: il termine noto f è detto la forzante applicata all'oscillatore.

Esempi di applicazione

• Meccanica: Se l'oscillatore è un punto di massa m mobile lungo l'asse x, soggetto a una forza elastica (costante k), una forza viscosa (costante h) e una forza esterna F(t), allora: x è l'ascissa, 2b = h/m, ω = √(k/m) e f(t) = F(t)/m.
• Elettrotecnica: Per un circuito RCL, x è la carica elettrica, 2b = R/L, ω = 1/√(LC) e f(t) = E(t)/L, dove E(t) è la forza elettromotrice.

Oscillatore libero (f = 0)

La soluzione dell'equazione omogenea &ddot;x + 2b˙x + ω²x = 0 dipende dal grado di smorzamento. Le costanti C₁ e C₂ sono determinate dalle condizioni iniziali x(t₀) = x₀ e ˙x(t₀) = v₀.

• Non smorzato (b = 0): x(t) = C₁ sin(ωt) + C₂ cos(ωt)
• Sottosmorzato (b < ω): x(t) = e^-bt(C₁ sin(ω_dt) + C₂ cos(ω_dt)) con ω_d = √(ω² - b²)
• Criticamente smorzato (b = ω): x(t) = e^-ωt(C₁ + C₂t)
• Sovrasmorzato (b > ω): x(t) = e^-bt(C₁ sinh(ω_st) + C₂ cosh(ω_st)) con ω_s = √(b² - ω²)

Nota: in ogni caso, x(t) → 0 per t → +∞.

Oscillatore forzato (f ≠ 0)

La soluzione generale è la somma della soluzione dell'omogenea e di una soluzione particolare &bar;x. Consideriamo i casi principali:

1. Forzante costante

f(t) = f₀ ⇒ &bar;x = f₀/ω²

2. Forzante polinomiale

f(t) = p_n(t) ⇒ &bar;x = q_n(t) (polinomio di grado n).

3. Forzante armonica

f(t) = A sin(λt) + B cos(λt)

Caso non smorzato (b = 0)

• Se λ ≠ ω: &bar;x(t) = [A/(ω² - λ²)] sin(λt) + [B/(ω² - λ²)] cos(λt)
• Se λ = ω (Risonanza): &bar;x(t) = (B/2ω)t sin(ωt) - (A/2ω)t cos(ωt). L'ampiezza cresce linearmente nel tempo.

Caso smorzato (b ≠ 0)

La soluzione particolare è una funzione armonica con la stessa pulsazione λ della forzante:

&bar;x(t) = C sin(λt + φ)

Dove l'ampiezza C è data da: C = √(A² + B²) / √[(ω² - λ²)² + 4b²λ²].

In condizioni di piccolo smorzamento, si verifica il fenomeno della risonanza quando λ &approx; ω, con un massimo di ampiezza per λ_R = √(ω² - 2b²).