Principi di Propagazione delle Onde Sonore e Fenomeni Acustici
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Introduzione alla Fisica del Suono
La fisica studia il movimento del suono. Il suono è un'onda di pressione che può propagarsi attraverso un mezzo materiale, variando la pressione sonora relativa del mezzo. Il movimento dell'onda, come ogni onda, è caratterizzato da ampiezza, frequenza, lunghezza d'onda e velocità di propagazione. I valori di pressione sonora sono molto piccoli, misurati in decibel (dB).
La frequenza del suono determina una classificazione:
- Suono udibile: 20 Hz - 20.000 Hz
- Infrasuoni: < 20 Hz
- Ultrasuoni: > 20.000 Hz
La velocità di propagazione dipende dalle caratteristiche meccaniche del mezzo. Tenendo conto di questi valori, possiamo determinare la lunghezza d'onda (λ):
λ = c / f
Velocità delle Onde
Velocità dell'Onda Trasversale (Corda Inestensibile)
Considerando una corda inestensibile, la tensione T₀ è la stessa in tutti i punti. Quando un elemento di lunghezza dx si muove lungo l'asse trasversale y, si propaga un'onda trasversale. Per piccole angolazioni, la forza trasversale dFy su un elemento di corda è data da:
dFy = T₀ * d(dy/dx)
Dividendo per dx, otteniamo:
dFy/dx = T₀ * (d²y/dx²)
Dalla seconda legge di Newton, la forza netta su un elemento di massa μ dx (dove μ è la densità lineare di massa) è:
dFy = (μ dx) * (d²y/dt²)
Quindi:
dFy/dx = μ * (d²y/dt²)
Confrontando le equazioni, otteniamo la velocità di propagazione dell'onda trasversale ct:
ct = √(T₀ / μ)
L'equazione dell'onda trasversale che si propaga sul piano x-y è:
y(x,t) = Y₀ sin[ω(t - x/ct)]
Velocità delle Onde Longitudinali (Asta a Sezione Circolare)
Consideriamo un materiale elastico. Quando l'onda passa, provoca una deformazione elastica, e si applica la legge di Hooke. La tensione (σ = dFx/A) è proporzionale alla deformazione (ε = ΔL/L₀), secondo la legge di Hooke:
σ = Eε
Ovvero:
(dFx/A) = E * (ΔL/L₀)
Il valore della forza può essere calcolato come:
dFx = AE (ΔL/L₀)
Assumendo che la variazione di lunghezza ΔL sia du (spostamento) e la lunghezza iniziale L₀ sia dx, allora (ΔL/L₀) = (du/dx). Con questa sostituzione, la variazione di forza per unità di lunghezza è:
(dFx/dx) = AE (d²u/dx²)
Tenendo conto della seconda legge di Newton, la forza netta su un elemento di massa (Aρ dx) (dove ρ è la densità del materiale) è:
dFx = (Aρ dx) * (d²u/dt²)
Quindi:
dFx/dx = Aρ * (d²u/dt²)
Confrontando le equazioni, la velocità di propagazione dell'onda longitudinale in un solido cl è:
cl = √(E / ρ)
L'equazione dell'onda è:
u(x,t) = A₀ sin[ω(t - x/cl)]
Nel Fluido
Nel fluido, la velocità dell'onda longitudinale clf è:
clf = √(1 / (κρ))
Dove κ è la compressibilità del fluido e ρ è la densità. L'equazione dell'onda è:
u(x,t) = A₀ sin[ω(t - x/clf)]
Dove A₀ è l'ampiezza dell'onda.
Onde di Pressione Sonora
Le onde sonore corrispondono a onde di pressione. Consideriamo un'onda incidente e un'onda riflessa con la stessa ampiezza. Le equazioni sono:
Δpi = A sin[ω(t - x/c)]
Δpr = A sin[ω(t + x/c)]
Il risultato sarà la somma delle due onde (onda stazionaria di pressione):
Δp = Δpi + Δpr = 2A cos(ωx/c) sin(ωt)
L'ampiezza risultante è:
AR = 2A cos(2πx/λ)
I massimi di pressione (ventri di pressione) si trovano a:
x = k(λ/2)
I nodi di pressione si trovano a:
x = (2k + 1)(λ/4)
Per ottenere lo spostamento delle particelle dell'onda, partiamo dall'equazione dell'onda di pressione:
Δp = -B (du/dx)
Dove B è il modulo di bulk. Quindi:
du/dx = -(1/B) Δp = -(1/B) [2A cos(2πx/λ) sin(2πft)]
Integrando rispetto a x, otteniamo lo spostamento u(x,t):
u(x,t) = -(2Aλ/(2πB)) sin(2πx/λ) sin(2πft)
La velocità di ogni particella vp è:
vp = du/dt = -(2Aω/B) sin(2πx/λ) cos(2πft)
Onde Stazionarie nei Tubi Sonori
Un tubo sonoro è una sorgente sonora capace di produrre suoni utilizzabili musicalmente. Considerando l'asse x lungo il tubo, con la sorgente d'onda all'inizio, si forma un'onda stazionaria. Questa corrisponde alla sovrapposizione di due onde di uguale frequenza che si propagano in direzioni opposte lungo l'asse x:
u1 = A1 sin[2πf(t - x/v)]
u2 = A2 sin[2πf(t + x/v)]
L'onda risultante sarà la somma delle due. Se si assume A1 = A2 = A, lo spostamento risultante è:
u(x,t) = 2A cos(2πfx/c) sin(2πft)
Tubi Aperti
In un tubo aperto, la pressione è nulla agli estremi (ventri di spostamento). Quindi, all'estremità x = La, Δp = 0. Questo implica che sin(2πfLa/c) = 0.
Questo significa che 2πfLa/c = kπ, dove k = 1, 2, 3...
La frequenza fk in funzione della lunghezza del tubo La è:
fk = k * (c / 2La)
La lunghezza del tubo corrisponde a un multiplo intero di mezze lunghezze d'onda:
La = k(λ/2)
Tubi Chiusi
In un tubo chiuso, lo spostamento delle particelle è nullo all'estremità chiusa (nodo di spostamento), quindi u(Lc, t) = 0. Dall'equazione dello spostamento u(x,t) = 2A cos(2πfx/c) sin(2πft), per u(Lc, t) = 0, dobbiamo avere cos(2πfLc/c) = 0.
Questo implica che 2πfLc/c = (2k-1)π/2, dove k = 1, 2, 3...
La frequenza fk in funzione della lunghezza del tubo Lc è:
fk = (2k-1) * (c / 4Lc)
La lunghezza del tubo corrisponde a un multiplo dispari di quarti di lunghezza d'onda:
Lc = (2k-1)(λ/4)
Intensità del Suono
L'intensità del suono (I) è l'energia che attraversa per unità di tempo una superficie unitaria normale alla direzione di propagazione. L'intensità del suono è data da:
I = (Δpmax)² / (2ρc)
Dove Δpmax è l'ampiezza della pressione, ρ è la densità del mezzo e c è la velocità del suono.
L'intensità in decibel (LI) è:
LI = 10 log10(I/I₀)
Dove I₀ è l'intensità di riferimento (solitamente 10-12 W/m²).
Effetto Doppler
L'Effetto Doppler è la variazione della frequenza percepita da un osservatore di un'onda quando la sorgente e/o l'osservatore sono in movimento relativo.