Relatività Ristretta: Risoluzione del Paradosso del Treno e dei Gemelli

Il Paradosso del Treno e la Sincronizzazione degli Orologi

L’errore comune risiede nel presupporre che gli orologi siano sincronizzati in tutti i sistemi di riferimento. Il disastro non avverrà, poiché l'evento è invariante in quanto dato oggettivo.

Gli orologi del sistema S, osservando il treno davanti all'imbocco della galleria, calcolano che il treno sarà interamente in galleria dopo un Δt = L₀/V = 1s. Al contrario, chi si trova nel sistema S' vedrà trascorrere un Δt' = L₀/γV (ovvero 0,5 secondi).

• Essendo il treno lungo 4 volte la galleria, per S' occorreranno ulteriori 1,5 secondi affinché la coda del treno entri.
• Il tempo necessario in S' affinché l'intero treno entri è di 1,5 secondi.
• Dopo questo intervallo, quando gli orologi di S' segnano 2 secondi, quelli di S (che per S' ritardano di un fattore 2) segnano 1 secondo: è esattamente il momento in cui viene attivata la seconda chiusura.

La chiusura di coda della galleria sarà vista da S' con un ritardo di 0,75 secondi rispetto alla chiusura di testa, tempo necessario per far transitare l'intero treno. Pertanto, S' non vedrà le chiusure come simultanee, ma osserverà quella anteriore chiudersi e aprirsi prima che la punta del treno esca, e quella di coda chiudersi solo quando l'ultima parte del convoglio è entrata.

Il Paradosso dei Gemelli

Sulla Terra vivono due gemelli: Omero e Ulisse. Ulisse parte per il pianeta P.

• Distanza D = 8 anni luce.
• Fattore di Lorentz γ = 5/3 (considerando V_ulisse = 0,8c).

Analisi dal punto di vista di Omero

Per gli orologi di Omero, il tempo di andata è Δt = D/V = 10 anni. Al ritorno di Ulisse, Omero avrà 20 anni in più. Sapendo che gli orologi di Ulisse ritardano l'invecchiamento di un fattore Δt/γ, avremo:

Δt' = Δt/γ = 12 anni. Ulisse sarà quindi 8 anni più giovane di Omero.

Analisi dal punto di vista di Ulisse

Ulisse calcola la durata del suo viaggio come Δt' = d'/V = d/γV = 12 anni. Successivamente, calcola l'età di suo fratello al ritorno: poiché gli orologi di Omero sono in movimento rispetto a lui, ritardano di Δt' = Δt/γ = 7,2 anni.

Si crea quindi una contraddizione apparente: per Ulisse dovrebbe essere più giovane Omero, mentre per Omero dovrebbe essere più giovane Ulisse.

Risoluzione del paradosso

Il paradosso non risiede nella differenza di età, ma nella divergenza delle previsioni. La chiave è che solo l'analisi di Omero è corretta, poiché egli si trova in un sistema inerziale (Moto Uniforme). Il calcolo di Ulisse è errato perché applica le leggi della relatività ristretta in un sistema non inerziale, dato che Ulisse inverte la propria velocità.

Per ottenere il risultato corretto nel caso di Ulisse, occorre:

1. Utilizzare la Relatività Generale, capace di analizzare sistemi accelerati.
2. Analizzare la sincronizzazione degli orologi quando Ulisse passa dal sistema S' a S.

Quando Ulisse in S' vede il pianeta P, l'orologio di P segna 10 anni perché sincronizzato con quello di Omero. Tuttavia, Ulisse non considera questo orologio sincronizzato con quello terrestre, ma in anticipo di L₀V/c² (6,4 anni). Nella fase di decelerazione, Ulisse vede gli orologi di Omero scorrere velocemente; al suo ritorno sulla Terra, i calcoli concorderanno: Omero 20 anni, Ulisse 12 anni.