Legge di Wien, legge di Rayleigh-Jeans e ricerca di Planck sul corpo nero

La Legge di Spostamento di Wien

Alle temperature più elevate, dovute alla compressione, si verifica anche un aumento della frequenza di tutte le radiazioni per effetto Doppler, dato che lo specchio riflettente è in movimento (perciò anche le frequenze diventano più alte); questo fenomeno permette a Wien di dedurre la legge di spostamento:

λ₁T₁ = λ₂T₂ = costante

Le leggi della termodinamica non sono però sufficienti, secondo Wien, per conoscere quale sia la distribuzione a tutte le frequenze. Pertanto, è necessario introdurre una nuova ipotesi sull’interazione radiazione-oscillatore, che si basa sulla proporzionalità fra frequenze emesse ed energia cinetica degli oscillatori. In base ad essa, Wien ricava che:

E(υ, T) = Aυ³e⁻ᴮ⁽ᶹ/ᵀ⁾

Tuttavia, la sua ipotesi era priva di basi teoriche ed era verificabile solo alle alte frequenze, poiché alle basse frequenze non si potevano ancora effettuare misure sufficientemente precise.

Legge di Rayleigh-Jeans

μ(υ, T) = N(υ) * ‹Eυ›

La densità di energia è direttamente proporzionale al prodotto tra il numero di oscillatori attivi a una certa frequenza e l’energia media che compete ad ogni oscillatore. Il valore N(υ) è ottenibile tramite le leggi classiche, cosa che vale anche per ‹Eυ› secondo Rayleigh-Jeans.

Infatti, Rayleigh determina, attraverso un’analisi ottica, N(υ) per poi definire ‹Eυ› con il teorema dell’equipartizione dell’energia (a ogni grado di libertà compete un quantitativo di energia pari a 1/2 KT); si può dimostrare che:

‹Eυ› = KT

dato che per ogni oscillatore ci sono due gradi di libertà. Tuttavia, questa ipotesi è sbagliata alle alte frequenze perché l’energia emessa risulterebbe infinita (fenomeno noto come catastrofe ultravioletta). Nonostante ciò, può essere utilizzata in astrofisica quando si studiano radiazioni a basse frequenze, essendo una buona approssimazione della legge di Planck (come, del resto, la legge di distribuzione di Wien lo è per le alte frequenze).

Ricerca di Planck della Legge del Corpo Nero

Planck concentrò i propri studi nella termodinamica, convinto che le sue leggi fossero fondamentali per lo studio del corpo nero. Si propose di trovare un valido fondamento teorico della legge di Wien, ritenuta corretta nella sua formulazione iniziale. Inizialmente pensò di utilizzare il secondo principio della termodinamica per spiegare l'interazione tra radiazione e dipolo, sperando di poter operare un’unificazione tra elettromagnetismo e termodinamica.

Tuttavia, appare un errore evidente quello di applicare il secondo principio in quel modo: esso ha un valore statistico e può essere disatteso qualora siano considerate poche interazioni (qui addirittura singole). Ricordiamo che il secondo principio è stato spiegato anche come il passaggio da un macrostato (P, V, T) ad uno realizzabile con un numero di microstati maggiore; si definisce un microstato quando si conoscono tutte le posizioni e le velocità delle particelle.

Pertanto, l'aumento di entropia è una proprietà statistica dei sistemi che non ammette eccezioni quando le particelle del sistema considerato sono numerose. Planck rinunciò così all’intento iniziale e cambiò il proprio modo di procedere: è possibile pensare che la densità di energia μ alla frequenza ν sia esprimibile come il numero di oscillatori presenti in un’unità di volume per l’energia media alla frequenza ν che compete ad un oscillatore armonico.

Determinazione del Numero di Oscillatori

Il numero di oscillatori N è determinabile classicamente: mentre Rayleigh e Jeans agiscono nell’ambito dell’ottica, Planck si affida ai risultati di Hertz riguardo l’interazione tra radiazione e oscillatori.